Question

已知橢圓過點，且離心率．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在過點的直線交橢圓于不同的兩點M、N，且滿足（其中點O為坐標原點），若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）存在直線：或滿足題意

解析試題分析：（1）∵橢圓過點，且離心率，
∴ ，                                                                ……2分
解得：,，                                                          ……4分 
∴橢圓的方程為：.                                                     ……5分
（2）假設存在過點的直線交橢圓于不同的兩點M、N，且滿足．   ……6分
若直線的斜率不存在，且直線過點，則直線即為y軸所在直線,
∴直線與橢圓的兩不同交點M、N就是橢圓短軸的端點,
∴,
∴,
∴直線的斜率必存在，不妨設為k ,                                                  ……7分
∴可設直線的方程為：，即,
聯立 ,消y得 ,
∵直線與橢圓相交于不同的兩點M、N,
∴ 得：    ①                    ……8分
設,
∴,
∴,                 ……9分
又,
∴,
化簡得,         
∴或，經檢驗均滿足①式,                                            ……10分
∴直線的方程為：或,                                       ……11分
∴存在直線：或滿足題意．                             ……12分
考點：本小題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系.
點評：涉及到直線與圓錐曲線的位置關系時，如果需要設出直線方程，不要忘記考慮直線的斜率是否存在，聯立直線與圓錐曲線方程后，不要忘記驗證判別式大于零.