Question

已知數(shù)列，滿足，，且對(duì)任意的正整數(shù)，和均成等比數(shù)列.
（1）求、的值；
（2）證明：和均成等比數(shù)列；
（3）是否存在唯一正整數(shù)，使得恒成立？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1），；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：本題考查數(shù)列的求值，等比數(shù)列的證明和研究不等式的恒成立問(wèn)題.（1）通過(guò)題設(shè)條件給出的數(shù)列關(guān)系，求出數(shù)列的初始值；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，分別得到證明，其中應(yīng)說(shuō)明第一項(xiàng)不為零；（3）探求是否存在唯一的正整數(shù)使得恒成立分兩步求解，先通過(guò)數(shù)列，的單調(diào)性得到，再證明證整數(shù)時(shí)唯一的，求解有關(guān)數(shù)列的綜合問(wèn)題，主要是要明確解題方向，合理利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，同時(shí)還要注意解題步驟的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性.
試題解析：（1）依題意，；
（2）證明：依題意，對(duì)任意正整數(shù)有，即，
，
又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，又，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（3）由（2）得，解得，顯然，數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列，是單調(diào)遞減的數(shù)列，即存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有，
又令得，而，，，
，解得，即對(duì)任意的且時(shí)，，
正整數(shù)也是唯一的.
綜上所述，存在唯一的正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有.
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列不等式的恒成立問(wèn)題.