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已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=-
x
2
和l2：y=
x
2
，焦點在y軸上，實軸長為2
3
，O為坐標原點．
（1）求雙曲線方程；
（2）設P1，P2分別是直線l1和l2上的點，點M在雙曲線上，且
P1M
=2
MP2
，求三角形P1OP2的面積．
（1）依題意可設雙曲線方程為：y2-
x2
4
=λ(λ＞0)即
y2
λ
-
x2
4λ
=1
則2
λ
=2
3
∴λ=3∴雙曲線方程為
y2
3
-
x2
12
=1…（5分）
（2）設P1（-2y1，y1），P2（2y2，y2）和點M（x0，y0）∵
P1M
=2
MP2
∴
x0=
-2y1+4y2
3
y0=
y1+2y2
3
又∵M在雙曲線上∴
y20
-
x20
4
=3∴(
y1+2y2
3
)2-
1
4
(
-2y1+4y2
3
)2=3整理得y1y2=
27
8
…（9分）
又直線P1P2的方程為
y-y1
y2-y1
=
x+2y1
2y2+2y1
令x=0得y=
2y1y2
y1+y2
∴S△P1OP2=
1
2
•|
2y1y2
y1+y2
|•|(2y2+2y1)|=2|y1y2|=
27
4
…（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直．l與C交于A，B兩點，|AB|=12，P為C的準線上一點，則△ABP的面積為（　　）
A．18B．24C．36D．48

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左、右頂點分別為A、B，橢圓C的右焦點為F，
過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為
10
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設Q（t，m）是直線x=9上的點，直線QA、QB與橢圓C分別交于點M、N，求證：直線MN必過x軸上的一定點，并求出此定點的坐標．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知點P（x，y）滿足橢圓方程2x2+y2=1，則
y
x-1
的最大值為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
2
3
3
，且過點P（
6
，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（O為坐標原點），求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的兩條準線間距離為3，右焦點到直線x+y-1=0的距離為
2
2
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C中是否存在以點P(1，
1
2
)為中點的弦，并說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓C上一動點，點P在線段AM上，點N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C?x2-y2=1及直線l：y=kx-1．
（1）若l與C左支交于兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
（2）若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為
2
，求實數k的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

過雙曲線
x2
3
-y2=1的右焦點F2，作傾斜角為
π
4
的直線交雙曲線于A、B兩點，
求：（1）|AB|的值；
（2）△F1AB的周長（F1為雙曲線的左焦點）．

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同步練習冊答案