Question

給定項數為m （m∈N*，m≥3）的數列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，m），這樣的數列叫”0-1數列”．若存在一個正整數k （2≤k≤m-1），使得數列{a_n}中某連續k項與該數列中另一個連續k項恰好按次序對應相等，則稱數列{a_n}是“k階可重復數列”．例如數列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0，因為a₁，a₂，a₃，a₄與a₄，a₅，a₆，a₇按次序對應相等，所以數列{a_n}是“4階可重復數列”．
（1）已知數列{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，則該數列 ________“5階可重復數列”（填“是”或“不是”）；
（2）要使項數為m的所有”0-1數列”都為“2階可重復數列”，則m的最小值是 ________．

Answer 1

解：（1）數列{b_n}，因為b₂，b₃，b₄，b₅，b₆與b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀按次序對應相等，
所以數列{b_n}是“5階可重復數列”，重復的這五項為0，0，1，1，0；
（2）因為數列{a_n}的每一項只可以是0或1，所以連續2項共有2²=4種不同的情形．
若m=6，則數列{a_n}中有5組連續2項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為6的數列{a_n}一定是“2階可重復數列”；
若m=5，數列0，0，1，1，0不是“2階可重復數列”；則3≤m＜5時，
均存在不是“3階可重復數列”的數列{a_n}．
所以，要使數列{a_n}一定是“2階可重復數列”，則m的最小值是6．
分析：（1）觀察數列特點看元素是否按次序對應相等即看判斷數列是否為5階可重復數列；
（2）項數為m的數列{a_n}是2階可重復數列，數列的每一項只可以是0或1，則連續2項共有4種不同的情況，m=6，數列有5組連續2項，而3≤m≤5時，均存在不是“2階可重復數列”的數列，要使數列一定是2階可重復數列m的最小值必須是6．
點評：考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．