Question

（本小題滿分15分）已知點，一動圓過點且與圓內切．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；
（Ⅱ）設點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；
（Ⅲ）在的條件下，設△的面積為（是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點），以為邊長的正方形的面積為．若正數滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在最小值

解：（Ⅰ）設圓心坐標為，則動圓的半徑為，
又動圓與內切，所以有化簡得
所以動圓圓心軌跡C的方程為． ………………………………4分
（Ⅱ）設，則
，令，，所以，
當，即時在上是減函數，；
當，即時，在上是增函數，在上是減函數，則；
當，即時，在上是增函數，．
所以， ．…………………………………………9分
（Ⅲ）當時,,于是,,
若正數滿足條件，則，即，
，令，設，則，，
于是，
所以，當，即時，，
即，．所以，存在最小值．………………………………14分