Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分別是PC，CD的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）設，
求k的值.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

（Ⅰ）證明：.………………………2分
PA⊥平面ABCD，AD⊥CD. ……………………………………………3分
. ………………………………………5分
∴ CD⊥平面BEF. ……………………………………………………………………6分                          
（Ⅱ）連結AC且交BF于H，可知H是AC中點，連結EH,
由E是PC中點,得EH∥PA,  PA⊥平面ABCD.
得EH⊥平面ABCD，且EH.…………………………………………8分
作HM⊥BD于M，連結EM，由三垂線定理可得EM⊥BD.
故∠EMH為二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=60⁰.……………………10分
∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,
 故.
得,   得.
在Rt△EHM中，  
得………………………………………………………12分
解法2：（Ⅰ）證明，以A為原點，
建立如圖空間直角坐標系.
則，，
設PA = k,則,
,.………………………………………………………2分
得.…………………………4分
有………………6分
(Ⅱ)…7分     .
設平面BDE的一個法向量，
則   得  取……………10分                   由 ………………………………………11分
得 …………………12分