Question

如圖，已知BC是半徑為1的半圓O的直徑，A是半圓周上不同于B，C的點，又DC⊥面ABC，四邊形ACDE為梯形，DE∥AC，且AC=2DE，DC=2，二面角B-DE-C的大小為θ，tanθ=

3

4

（1）證明：面ABE⊥面ACDE；
（2）求四棱錐B-ACDE的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意易得BA⊥DC，又AC∩DC=C，可判BA⊥面ACDE，再由面面垂直的判斷定理可得結論；
（2）延長DE到F，使DF=AC，連接AF，BF，可證DF⊥AF，又可證BF⊥DF，可得∠AFB=θ，在RT△BAF中，由tanθ=

BA

AF

=

BA

2

=

3

4

，可得BA=

3

2

，進而由勾股定理可得CA的長度，可得底面梯形的面積，而四棱錐B-ACDE的高為BA，代入體積公式可得答案．

解答：解：（1）∵BC是直徑，∴BC⊥CA，又DC⊥面ABC，所以BA⊥DC，
又AC∩DC=C，AC，DC?面ACDE，∴BA⊥面ACDE，
又BA?面ABE，所以面ABE⊥面ACDE；
（2）延長DE到F，使DF=AC，連接AF，BF，
∵DC⊥AC，∴四邊形ACDF為矩形，∴DF⊥AF，
由（1）BA⊥DF，AF∩BA=A，∴DF⊥面BAF，∴BF⊥DF，
∴∠AFB為二面角B-DE-C的平面角，即∠AFB=θ，
在RT△BAF中，tanθ=

BA

AF

=

BA

CD

=

BA

2

=

3

4

，∴BA=

3

2

，
∴CA=

BC2-BA2

=

22-( 3 2 )2

=

7

2

，
由梯形的面積公式可得S_ACDE=

1

2

(

7

2

+

7

4

)×2=

3 7

4

，
由（1）知四棱錐B-ACDE的高為BA，
∴V_B-ACDE=

1

3

×

3 7

4

×

3

2

=

3 7

8

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，涉及幾何體體積的求解，屬中檔題．