Question

如圖，已知BC是半徑為1的半圓O的直徑，A是半圓周上不同于B，C的點，F為的中點．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC=2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求證：
（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面BAE．

Answer 1

證明：（1）∵BC是半圓O的直徑，A是半圓周上不同于B，C的點AC
∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AB?平面ABC
∴由兩個平面垂直的性質得，AB⊥平面ACDE
∵AB?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ACDE．
（2）如圖，設OF∩AC=M，連接DM，OA
∵F為的中點
∴M為AC的中點．
∵AC=2DE，DE∥AC
∴DE∥AM，DE=AM
∴四邊形AMDE為平行四邊形．
∴DM∥AE
∵DM?平面ABE，AE?平面ABE
∴DM∥平面ABE
∵O為BC中點
∴OM為三角形ABC的中位線
∴OM∥AB
∵OM?平面ABE，AB?平面ABE
∴OM∥平面ABE
∵OM?平面OFD，DM?平面OFD，OM∩DM=M
∴由兩個平面平行的判定定理可知，平面OFD∥平面ABE．
分析：（1）在半圓中，AB⊥AC，而平面ACDE⊥平面ABC，且交線為AC，故由兩平面垂直的性質定理可知：AB⊥平面ACDE，由兩平面垂直的判定定義可知：平面ABE⊥平面ACDE；
（2）設OF∩AC=M，連接DM，OA，由F為的中點，得M為AC的中點，所以DE∥AC，得四邊形AMDE為平行四邊形，從而DM∥AE，DM∥平面ABE；由OM∥AB得，OM∥平面ABE；由兩個平面平行的判定定理，可知平面OFD∥平面BAE．
點評：本題主要考查了兩個平面垂直的性質定理及判定定理、兩個平面平行的判定定理，體現了線線、線面、面面之間關系的相互轉化．