Question

已知定義在（－∞，—1）∪（1，+∞）上的奇函數滿足：①f(3)=1;②對任意的x>2, 均有f(x)>0,③對任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1) 
⑴試求f(2)的值;
⑵證明f(x)在(1,+∞)上單調遞增；
⑶是否存在實數a,使得f(cos²θ+asinθ)<3對任意的θ（0，π）恒成立？若存在，請求出a的范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

1）f(2)=0；   2) 見解析；
3）存在實數a∈(1,9),使得對任意的θ∈（0，π）恒成立.

試題分析：（1）根據對任意的正實數x，y都有均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1），令x=1，y=1，即可求出f（2）的值；
（2）由于函數沒有具體解析式，要證其在（1，+∞）上為增函數，只能從條件；②對任意的x＞2均有f（x）＞0和條件③對任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）入手，取代入條件③，整理變形后借助于條件②可證出結論．
（3）令x=2，y=2，代入求得f（5），令x=2，y=4，代入求得f（9），
又，可得，根據條件②判斷函數的單調性，根據已知條件把f（cos2θ+asinθ）＜3化為cos2θ+asinθ＜或1＜cos2θ+asinθ＜9，對任意的θ∈（0，π）恒成立，換元和分離參數即可求得a的范圍．.
1）令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)
2) 任取X₁>1，X₂>1，X₂>X_1，則有  從而，
即
∴f(x)在（1，+∞）上單調遞增……………（8分）
3）因為f(x)為奇函數，且在（1，+∞）上單調遞增，令X=Y=2，得f（5）=f（3）+f（3）=2，再令X=2，Y=4，得f(9)=f(3)+f(5)=3,
由因為f(x)為奇函數，所以,于是f(x)<3的解集為；
（-∞，-）∪（1，9），于是問題轉化為是否存在實數a,使對任意的θ∈（0，π）恒成立，令sinθ=t,則t∈(0,1]于是恒成立等價于恒成立.即恒成立，當t→0時，，故不存在實數a使對任意的
θ∈（0，π）恒成立.
1<cos²θ+asinθ<9恒成立等價于恒成立，得a>1,
t²-at+8>0,t∈(0,1]等價于，在（0，1]單調遞減，于是g(t)_min=9,故a<9 于是存在a∈(1,9)使1<cos²θ+asinθ<9 對任意的θ∈（0，π）恒成立.
綜上知，存在實數a∈(1,9),使得對任意的θ∈（0，π）恒成立.……………………（14分）.
點評：此題是個難題，考查抽象函數及其應用，以及利用函數單調性的定義判斷函數的單調性，并根據函數的單調性解函數值不等式，體現了轉化的思想，在轉化過程中一定注意函數的定義域．解決抽象函數的問題一般應用賦值法．特別是問題（3）的設問形式，增加了題目的難度，綜合性強．