Question

如圖，已知三棱錐的側棱、、兩兩垂直，且，，是的中點.

（1）求點到面的距離；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）解法一是利用等體積法求出點到平面的距離，具體做法是：先利用、、兩兩垂直以及它們的長度計算出三棱錐的體積，然后將此三棱錐轉換成以點為頂點，以所在平面為底面的三棱錐通過體積來計算點到平面的距離；解法二是直接利用空間向量法求點到平面的距離；（2）解法一是通過三垂線法求二面角的正弦值，即在平面內作，垂足為點，連接、，證明，，從而得到為二面角的平面角，再選擇合適的三角形求出的正弦值；解法二是直接利用空間向量法求二面角的余弦值，進而求出它的正弦值.
試題解析：解法一：（1）如下圖所示，取的中點，連接、，

由于，，且，
平面，平面，平面，
平面，，
，為的中點，，
，平面，平面，平面，
平面，，
，且，，
為的中點，，
平面，平面，，，
，
而，，
設點到平面的距離為，由等體積法知，，
即