Question

已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1，F₁，F₂是它的兩個焦點．
（Ⅰ）求與C有共同漸近線且過點（2，

5

）的雙曲線方程；
（Ⅱ）設P是雙曲線C上一點，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設所求的雙曲線方程為

x2

4

-y2=λ，代點可得λ，進而可得方程；
（Ⅱ）由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=4，再由余弦定理可得|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF₁||PF₂|，代入數據|PF₁||PF₂|的值，代入面積公式可得．

解答：解：（Ⅰ）設與

x2

4

-y2=1有共同漸近線的雙曲線方程為

x2

4

-y2=λ，
又所求雙曲線過點(2，

5

)，
∴λ=

22

4

-(

5

)2=-4，
故所求雙曲線方程為

x2

4

-y2=-4，即

y2

4

-

x2

16

=1；
（Ⅱ）由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=4，
由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF₁||PF₂|，
代入數據可得20=16+|PF₁||PF₂|，解得|PF₁||PF₂|=4
∴S△F1PF2=

1

2

|PF1||PF2|sin60°=

1

2

×4×

3

2

=

3

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．