Question

已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1，P為C上的任意點．
（1）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；
（2）設點A的坐標為（3，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點，再求出雙曲線的漸近線方程，根據點到線的距離公式分別表示出點P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離，然后兩距離再相乘整理即可得到答案．
（2）先設A的坐標為（x，y），根據兩點間的距離公式表示出PA|²并根據雙曲線方程為

x2

4

-y2=1，用x表示出y代入整理成二次函數的形式，即可得到|PA|的最小值．

解答：解：
（1）設P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點，
該雙曲的兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0．
點P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離分別是

|x1-2y1|

5

和

|x1+2y1|

5

，
它們的乘積是

|x1-2y1|

5

•

|x1+2y1|

5

=

|x12-4y12|

5

=

4

5

．
點P到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個常數．
（2）設P的坐標為（x，y），則|PA|²=（x-3）²+y²=(x-3)2+

x2

4

-1=

5

4

(x-

12

5

)2+

4

5

∵|x|≥2，∴當x=

12

5

時，|PA|²的最小值為

4

5

，
即|PA|的最小值為

2 5

5

．

點評：本題主要考查雙曲線的基本性質--漸近線方程，考查點到線的距離公式和兩點間的距離公式．