Question

改革開放以來，我國高等教育事業有了突飛猛進的發展，有人記錄了某村2001到2005年五年間每年考入大學的人數，為了方便計算，2001年編號為1，2002年編號為2，…，2005年編號為5，數據如下：

年份（x）	1	2	3	4	5
人數（y）	3	5	8	11	13

（1）從這5年中隨機抽取兩年，求考入大學的人數至少有1年多于10人的概率．
（2）根據這5年的數據，利用最小二乘法求出y關于x的回歸方程

y

=

b

x+

a

，并計算第8年的估計值．
參考：用最小二乘法求線性回歸方程系數公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

=

.

y

-b

.

x

．

Answer 1

分析：（1）設考入大學人數至少有1年多于10人的事件為A，這5年中有3年，考入大學人數少于10人，從而求得考入大學人數至少有1年多于10人的概率；
（2）根據最小二乘法求線性回歸方程系數公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

a

=

.

y

-b

.

x

求出線性回歸方程，然后取x=8，即可求出第8年的估計值．

解答：解：（1）設考入大學人數至少有1年多于10人的事件為A，這5年中有3年，考入大學人數少于10人，
∴考入大學的人數至少有1年多于10人的概率為P（A）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

；
（2）∵

.

x

=

1+2+3+4+5

2

=3，

.

y

=

3+5+8+11+13

5

=8，

5

i=1

xiyi=3+10+24+44+65=146，

5

i=1

x

2 i

=1+4+9+16+25=55，
∴

?

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x • . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=

146-5×3×8

55-5×9

=2.6，

a

=

.

y

-b

.

x

=8-2.6×3=0.2，
∴

y

=

b

x+

a

=2.6x+0.2，
∴第8年的估計值為2.6×8+0.2=21．

點評：本題主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率，以及利用最小二乘法求線性回歸方程系數公式求回歸直線的方程，同時考查了計算能力，屬于基礎題．