Question

已知函數的圖像在[a,b]上連續不斷，定義：

，，其中表示函數在D上的最小值，表示函數在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得對任意的成立，則稱函數為上的“k階收縮函數”

（1）若，試寫出，的表達式；

（2）已知函數試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數”，

如果是，求出對應的k，如果不是，請說明理由；

（3）已知，函數是[0,b]上的2階收縮函數，求b的取值范圍

Answer 1

 解：（1）由題意可得：，。

    （2），，

    當時，

    當時，

    當時，

綜上所述，。

即存在，使得是[-1,4]上的“4階收縮函數”。

（3），令得或。

函數的變化情況如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。

（i）當時，在上單調遞增，因此，，。因為是上的“二階收縮函數”，所以，

①對恒成立；

②存在，使得成立。

①即：對恒成立，由解得或。

要使對恒成立，需且只需。

②即：存在，使得成立。

由解得或。

所以，只需。

綜合①②可得。

（i i）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，因此，，，，顯然當時，不成立。

（i i i）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，因此，，，，顯然當時，不成立。

綜合（i）（i i）（i i i）可得：。