Question

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F₁，F₂距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個定點．

解析試題分析：（Ⅰ）求橢圓E的方程，可用待定系數法求方程，因為拋物線的焦點為，故可得橢圓E：的兩個焦點，即，由題意直線y＝上到焦點F₁，F₂距離之和最小，可用對稱法求最小值，即求出點關于直線的對稱點為最小值為，此時的點P恰好在橢圓E上，故，可得，從而得，這樣就得橢圓E的方程；（Ⅱ）這是探索性命題，可假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點，此時當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：，當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：，解得兩圓公共點．因此所求的點如果存在，只能是．由此能夠導出以AB為直徑的圓恒過定點M．
試題解析：（Ⅰ）由拋物線的焦點可得：，
點關于直線的對稱點為
故，
因此，橢圓方程為。（4分）
（Ⅱ）假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點。
當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： …………… ①
當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： …………②
由①②知定點M。（6分）
下證：以AB為直徑的圓恒過定點M。
設直線，代入，有。
設，則。  
則，


在軸上存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個定點。（14分）
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的共同特征．