Question

已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．
（1）當圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準線被該圓截得的弦長．
（2）當圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結論．
（3）當圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，并求出此時圓的方程．

Answer 1

（1）；（2）是定值，為2；（3）取得最大值，此時圓的方程為．

解析試題分析：（1）這是關于圓的基本計算問題，圓心是拋物線的頂點，又圓過點，可得圓半徑為，就得出了圓的方程，拋物線的準線為，與圓相交弦長可用直角三角形法求解，弦心距，弦的一半，相應半徑可構成一個直角三角形，應用勾股定理易得；（2）圓心在拋物線上運動，可設圓心坐標為，與（1）同法可得弦長，當然本題中弦在軸上，故可在圓方程中令，求出，也即求出為定值；（3）根據圓的性質，由（2）可得兩點的坐標為，這樣就可用來表示，可求得，時，有，時，利用基本不等式有，從而（當且僅當，即時等號成立），故所求最大值為．
試題解析：（1）拋物線的頂點為，準線方程為，圓的半徑等于1，圓的方程為．弦長         4分
（2）設圓心，則圓的半徑，
圓的方程是為：    6分
令，得，得，，
是定值．      8分
（3）由（2）知，不妨設，，，．
．      11分
當時，．      12分
當時，．
當且僅當時，等號成立          14分
所以當時，取得最大值，此時圓的方程為．
16分
考點：（1）拋物線的幾何性質，圓的弦長公式；（2）圓的弦長；（3）基本不等式與最大值問題．