Question

已知函數

(1)若f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，求a的取值范圍；

(2)若定義在區間D上的函數y＝f(x)對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式成立，則稱函數y＝f(x)為區間D上的“凹函數”．試判斷當a≤0時，f(x)是否為“凹函數”，并對你的判斷加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由，得　　2分 　　欲使函數為[1，＋∞)上單調增函數，則在[1，＋∞)上恒成立，即不等式在[1，＋∞)上恒成立．也即在[1，＋∞)上恒成立．　　4分 　　令，上述問題等價于，而為在[1，＋∞)上的減函數，則，于是a≥0為所求．　　6分 　　(Ⅱ)證明：由得 　　 　　　　7分 　　　　8分 　　而①　　10分 　　又，∴②　　11分 　　∵∴， 　　∵∴③　　13分 　　由①、②、③得 　　即， 　　從而由凹函數的定義可知函數為凹函數．　　14分