Question

在正項數列{a_n}中，a₁=6，點An(an，

an+1

)在拋物線y²=x+1上；在數列{b_n}中，數列前n項的和為S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；n為奇數n為偶數
（Ⅱ）若f(n)=

an bn

，問是否存在k∈N^*，使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點An(an，

an+1

)代入y²=x+1中，得a_n+1=a_n+1，由此能求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)=

n+5，n為奇數 2n+1，n為偶數

，當k為偶數時，k+27為奇數，由此求出k=4；當k為奇數時，k+27為偶數，k=

35

2

（舍）．綜上，存在唯一的k=4符合條件．

解答：解：（Ⅰ）將點An(an，

an+1

)代入y²=x+1中，
得a_n+1=a_n+1，
a_n+1-a_n=d=1，
a_n=a₁+（n-1）×1=n+5，
直線L：y=2x+1，
∴b_n=2n+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)=

n+5，n為奇數 2n+1，n為偶數

，
當k為偶數時，k+27為奇數，
∵f（k+27）=4f（k）
k+27+5=4（2k+1），
∴k=4
當k為奇數時，k+27為偶數，
2（k+27）+1=4（k+5），
∴k=

35

2

（舍）．
綜上，存在唯一的k=4符合條件．

點評：本題考查數列通項公式的求法和實數k是否存在的判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．