Question

(本題滿分14分) 已知正四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2 的正方形，高為．M為線段PC的中點．
(Ⅰ) 求證：PA∥平面MDB；
(Ⅱ) N為AP的中點，求CN與平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)

證明：在四棱錐P－ABCD中，連結AC交BD于點O，連結OM，PO．由條件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝．
因為在△PAC中，M為PC的中點，O為AC的中點，
所以OM為△PAC的中位線，得OM∥AP，
又因為AP平面MDB，OM平面MDB，
所以PA∥平面MDB． …………6分
(Ⅱ) 解：設NC∩MO＝E，由題意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．
因為M為PC的中點，所以PC⊥BM，
同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．
所以直線CN在平面BMD內的射影為直線OM，∠MEC為直線CN與平面BMD所成的角，
又因為OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．
在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，
故直線CN與平面BMD所成角的正切值為2．       

解析