Question

（2006•上海模擬）已知x∈R，z∈C，x²+zx+3z+4i=0
（1）若Z在復平面內對應的點Z在第一象限，求x的范圍
（2）是否存在這樣的x，使得z=

2006

-

2005

i成立．

Answer 1

分析：（1）根據題意設z=a+bi（a∈R，b∈R）然后代入x²+zx+3z+4i=0中再根據復數的相等可求出a，b再根據Z在復平面內對應的點Z在第一象限即a＞0，b＞0即可求出x的范圍．
（2）可假設存在這樣的x，使得z=

2006

-

2005

i成立則可將z代入x²+zx+3z+4i=0再根據復數的相等得出x滿足的關系式再根據其關系判斷是否能求出x若能求出則假設成立否則假設錯誤即不存在滿足條件的x．

解答：解：（1）根據題意設z=a+bi（a∈R，b∈R）
∵x∈R，z∈C，x²+zx+3z+4i=0
∴x²+ax+3a+（bx+3b+4）i=0
∴x²+ax+3a=0且bx+3b+4=0
∴a=-

x2

x+3

，b=-

4

x+3

∵Z在復平面內對應的點Z在第一象限
∴a＞0，b＞0
∴-

x2

x+3

＞0，b=-

4

x+3

＞0
∴x∈（-∞，3）
（2）假設存在這樣的x，使得z=

2006

-

2005

i成立由（1）可得

2006

=-

x2

x+3

，-

2005

=-

4

x+3

∴-

2006

2005

= 

x2

4

這是不可能的
∴假設錯誤即即不存在滿足條件的x使得z=

2006

-

2005

i成立．

點評：本題主要考差了復數的代數表示即其幾何意義．解題的關鍵是第一問要將復數z設出來再根據復數的相等求出a，b再利用復數的幾何意義可得a＞0，b＞0就可求出x的范圍．而第二問關鍵是在第一問的基礎上得出得

2006

=-

x2

x+3

，-

2005

=-

4

x+3

只需將倆式相除即可得出矛盾而不需直接解方程！