Question

.(12分)已知函數在R上為奇函數,，.
(I)求實數的值;
(II)指出函數的單調性.（不需要證明）
(III)設對任意,都有;是否存在的值，使最小值為；

Answer 1

(I)；(II)減函數；(III) 。

(I)因為f(x)為奇函數，所以f(-x)+f(x)=0恒成立，據此可求出m的值.
（II）由（I）可求出,討論a,根據復合函數的單調性可判斷f(x)的單調性.
（III）解本小題的關鍵是因為對任意都有，
所以對任意都有，
所以對任意都有，
所以對任意都有，從而轉化為求的最小值，再解關于t的不等式即可.
解：(I)
即

…………………………………3分
又…………………………………1分
(II)由(I)知
又在R上為減函數……………3分
(III)又因為對任意都有
所以對任意都有
所以對任意都有
所以對任意都有


解得……………………………1分

令,


解得……………………………2分
此時
解得
………………………………………2分