Question

某校高一學生1000人，每周一次同時在兩個可容納600人的會議室，開設“音樂欣賞”與“美術鑒賞”的校本課程．要求每個學生都參加，要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數為，其余的人聽“美術鑒賞”課；從第二次起，學生可從兩個課中自由選擇．據往屆經驗，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學生，下一次會有20﹪改選“美術鑒賞”，而選“美術鑒賞”的學生，下次會有30﹪改選“音樂欣賞”，用分別表示在第次選“音樂欣賞”課的人數和選“美術鑒賞”課的人數．
(1)若，分別求出第二次,第三次選“音樂欣賞”課的人數；
(2)①證明數列是等比數列，并用表示；
②若要求前十次參加“音樂欣賞”課的學生的總人次不超過5800，求的取值范圍．

Answer 1

(1)，（2）① ②,且

解析試題分析：解決數列實際應用問題的關鍵是把實際問題隨著正整數變化的量用數列表達出來，然后利用數列知識對表達的數列進行求解(求和、研究單調性、最值等)，根據求解結果對實際問題作出答案．根據題意(1)
，分別取，即可求出，（2）①由題意得，由 ，代入即可得證；②前十次聽“音樂欣賞”課的學生總人次即為數列的前10項和，根據題意，，由已知，，得，解之即可．
(1)由已知，又，,
∴，
∴，
∴．
(2) ①由題意得，
∴，
∴，         
，∴，
∴數列是等比數列，公比為首項為  
∴，
得     
②前十次聽“音樂欣賞”課的學生總人次即為數列的前10項和，
，
由已知，，得，
∴ ，∴，
，∴的取值范圍是,且．
考點：數列的實際應用問題