Question

設函數y=1-

2x+1-n

x2+x+1

（n∈N^*）的最小值為a_n，最大值為b_n，又C_n=3（a_n+b_n）-9
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求

lim

n→∞

C1+C2+…+Cn

Cn

（n∈N^*）的值
（3）設Sn=

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

，dn=S2n+1-Sn，是否存在最小的整數m，使對任意的n∈N^*都有dn＜

m

25

成立？若存在，求出m的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數可變形為（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①，當y=1 時不符合題意；當y≠1 時，方程①為二次方程，利用△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0，可求函數的值域，根據函數y=1-

2x+1-n

x2+x+1

（n∈N^*）的最小值為a_n，最大值為b_n，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）由題意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的兩根，則an+bn=

4n+6

3

，從而C_n=4n-3 （n∈N^*），求出T_n=C₁+C₂+…+C_n n（2n-1），即可求極限；
（3）根據Sn=

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

，dn=S2n+1-Sn=

1

Cn+1

+

1

Cn+2

+…+

1

C2n+1

可得dn+1-dn=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

=(

1

8n+5

-

1

8n+2

)+(

1

8n+9

-

1

8n+2

)＜0，從而數列{d_n} 為遞減數列，從而數列 {d_n} 的最大項為d1=

14

45

，dn＜

m

25

恒成立，只需

14

45

＜ 

m

25

，故可求最小的整數．

解答：解：（1）函數可變形為（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0①
當y=1 時不符合題意；當y≠1 時，方程①為二次方程，
∵x∈R
∴△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0 得-3y²+（4n+6）y+1-4n≥0 且y≠1
∴

2n+3-2 n2+3

3

≤y≤

2n+3+2 n2+3

3

∵函數y=1-

2x+1-n

x2+x+1

（n∈N^*）的最小值為a_n，最大值為b_n
∴

2n+3-2 n2+3

3

（2）由題意知a_n，b_n 是方程3y²-（4n+6）y-1+4n=0 的兩根，
則an+bn=

4n+6

3

于是C_n=4n-3 （n∈N^*） …4分
設T_n=C₁+C₂+…+C_n
由C_n=4n-3 （n∈N^*），可知T_n=n（2n-1）
∴

lim

n→∞

Tn

Cn

=

lim

n→∞

2n2-n 16n2-24n+9

=

2

4

  …8分
（3）∵Sn=

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

，dn=S2n+1-Sn=

1

Cn+1

+

1

Cn+2

+…+

1

C2n+1

∴dn+1-dn=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

=(

1

8n+5

-

1

8n+2

)+(

1

8n+9

-

1

8n+2

)＜0
∴數列{d_n} 為遞減數列，從而數列 {d_n} 的最大項為d1=

14

45

，
即dn＜

m

25

恒成立，只需

14

45

＜ 

m

25

，
∴m＞

70

9

，故最小的整數m=8．…13分

點評：本題以函數為載體，考查數列的通項，考查數列的極限，考查數列的單調性及恒成立問題，有綜合性．