Question

已知拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1（m∈R）．
（1）當m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？
（2）若關于x的方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0的兩個不等實根的倒數平方和不大于2，求m的取值范圍；
（3）如果拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸交于C點，且三角形ABC的面積等于2，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數解析式得，二次項的系數不為零、判別式大于零，求出實數m的范圍；
（2）由韋達定理求出兩根之和、兩根之積，再求出

1

x1

+

1

x2

的值，根據完全平方和公式得出

1

x12

+

1

x22

的值，再由題意列出不等式，求出m的范圍；
（3）先求出C點的縱坐標，再把面積公式用（2）的兩根之差表示出來，再由x₁-x₂與x₁+x₂、x₁x₂之間關系，列出關于m的不等式，求出m的范圍．

解答：解：（1）由題意知，有

m-1≠0 △=(m-2)2+4(m-1)＞0

，解得m²＞0且m≠1，
∴m的取值范圍為{m|m≠0且m≠1}．             
（2）在（1）的條件下，設（m-1）x²+（m-2）x-1=0的兩個不等實根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=

m-2

1-m

，x₁x₂=

1

1-m

，∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=m-2
∴

1

x12

+

1

x22

=(

1

x1

+

1

x2

)2-

2

x1x2

=（m-2）²+2（m-1）≤2，即m²-2m≤0，
解得，0≤m≤2，
∴m的取值范圍為{m|0＜m＜1或1＜m≤2}．
（3）由（2）知，A和B點的橫坐標為：x₁、x₂，設點C的縱坐標為y_c，
把x=0代入解析式得，y_c=-1，
∵三角形ABC的面積等于2，∴

1

2

|x₁-x₂|•|y_c|=2，∴|x₁-x₂|=4，
∵x₁+x₂=

m-2

1-m

，x₁x₂=

1

1-m

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，即(

m-2

1-m

)2-4×

1

1-m

=16，
解得，m=

4

3

或

4

5

．

點評：本題是有關二次函數與二次方程的關系，考查了一元二次方程根的分布問題，以及系數關系，韋達定理的應用：即x₁-x₂與x₁+x₂、x₁x₂之間的關系．