如圖，儲油灌的表面積
為定值，它的上部是半球，下部是圓柱，半球的半徑等于圓柱底面半徑．
⑴試用半徑
表示出儲油灌的容積
，并寫出的范圍．
⑵當圓柱高
與半徑的比為多少時，儲油灌的容積最大？
（1）
（2）
解析試題分析：（1）解決應用題問題首先要解決閱讀問題，具體說就是要會用數學式子正確表示數量關系，本題先利用儲油灌的表面積為定值得到圓柱高與半徑的關系
，再根據儲油灌的容積為半球體積與圓柱體積之和，即可得儲油灌的容積的解析式；為使思路簡潔，直接用對應公式表示，根據高及半徑為正數可得的取值范圍，（2）本題解題思路清晰，就是利用導數求最值.難點在運算上,需用字母表示高與半徑.由導數為零得
，又由（1）得代入化簡得
，因此.
試題解析：⑴
，
， 3分
； 7分
⑵
，令
，得，列表
11分
↗ 極大值即最大值 ↘
∴當時，體積取得最大值，此時，
. 13分
答：儲油灌容積，當時容積取得最大值. 15分
考點：圓柱側面積，球的體積，利用導數求最值
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,四棱錐P
ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2
,BC="CD=2," ∠ACB=∠ACD=
.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)若側棱PC上的點F滿足PF=7FC,求三棱錐PBDF的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在三棱錐S ABC中，平面EFGH分別與BC，CA，AS，SB交于點E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.
求證：(1)AB∥平面EFGH；
(2)GH∥EF；
(3)GH⊥平面SAC.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知一個四棱錐P－ABCD的三視圖(正視圖與側視圖為直角三角形，俯視圖是帶有一條對角線的正方形)如圖，E是側棱PC的中點．
(1)求四棱錐P－ABCD的體積；
(2)求證：平面APC⊥平面BDE.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在幾何體ABCDE中，∠BAC=
，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1。
（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線
，求證：∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖C,D是以AB為直徑的圓上的兩點，
,F是AB上的一點，且
,將圓沿AB折起，使點C在平面ABD的射影E在BD上，已知
（1）求證：AD
平面BCE
（2）求證：AD//平面CEF；
（3）求三棱錐A-CFD的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=
=2，點G為AC的中點．
（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，
是以
為直徑的半圓上異于點
的點，矩形
所在的平面垂直于該半圓所在平面，且
(Ⅰ)求證：
；
(Ⅱ)設平面
與半圓弧的另一個交點為
,
①求證：
//;
②若
，求三棱錐E-ADF的體積．
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平面ABCD，E，F是AC，PC的中點.
；
，求三棱錐
的體積.