Question

設函數.

（1）求函數的圖像在點處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）若，為整數，且當時，，求的最大值．

 

Answer 1

（1）函數的圖像在點處的切線方程為；（2）若， 在區間上單調遞增，若，在區間上單調遞減，在上單調遞增；（3）整數的最大值為2.

【解析】

試題分析：（1）求函數的圖像在點處的切線方程，只需求出斜率即可，由導數的幾何意義可知，，因此對函數求導，得，求出的斜率，由點斜式可得切線方程；（2）求函數的單調區間，可先求出函數的導數，由于函數中含有字母，故應按的取值范圍進行分類討論研究函數的單調性，給出單調區間；（3）由題設條件結合（2），將不等式，在時成立轉化為成立，由此問題轉化為求在上的最小值問題，求導，確定出函數的最小值，即可得出的最大值．本題解題的關鍵一是應用分類的討論的方法，第二是化歸思想，將問題轉化為求函數的最小值問題．

試題解析：（1），，

函數的圖像在點處的切線方程為

（2）.

若，則恒成立，所以，在區間上單調遞增.

若，則當時，，當時，，

所以，在區間上單調遞減，在上單調遞增.

（3）由于，所以，

故當時，①

令，則

函數在上單調遞增，而

所以在上存在唯一的零點，故在上存在唯一的零點.

設此零點為，則.當時，；當時，；

所以，在上的最小值為.由可得

所以，由于①式等價于.

故整數的最大值為2.

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．