Question

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上.（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）方程分別為y=和

解析試題分析：(Ⅰ)依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4)，
將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，故所求雙曲線方程為

(Ⅱ)依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1－k²)x²－4kx－6=0.
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,
∴  ∴k∈(－)∪(1,).
設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=于是
|EF|=
=，而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝,
∴S_ΔOEF=
若S_ΔOEF＝，即解得k=±，滿足②.
故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和
考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關(guān)系,注意計(jì)算的靈活處理，考查了學(xué)生綜合運(yùn)
算能力．