Question

設正數數列{a_n}為等比數列，a₂=4，a₄=16．
（1）求
（2）記b_n=2•log₂a_n，證明：對任意的n∈N^*，有•…＞成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據a₂=4，a₄=16求出數列{a_n}的通項公式，然后代入進行求解即可；
（2）利用數學歸納法進行證明，①當n=1時，不等式成立，②假設當n=k時不等式成立，然后證明當n=k+1時，不等式成立，從而證得結論．
解答：解（1）可知q²=4，又a_n＞0，∴a_n=2ⁿ，∴lga_n=lg2ⁿ=nlg2．
==
（2）①當n=1時，左邊=，右邊=，因為＞，所以不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即•…=•…＞
成立．則當n=k+1時，左邊=•…•=•…•
＞==＞
所以當n=k+1時，不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．
點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及等差數列求和和利用數學歸納法證明不等式，屬于中檔題．