Question

已知函數 （a為實數）
（Ⅰ） 當a=2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ） 若當時，都有成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=2時，令得
∴f（x）的增區間為 …（4分）
（Ⅱ）令g（x）=，設若使f（x）有意義，則a≤-1或a≥1
∵＜g（0）=，
∴a≤-1或 …（6分）
1°當a≤-1時，，
若a=-1，則f'（x）≤0恒成立，，而g（x）＞0，故f（x）＜g（x）成立
若a＜-1，令，，f'（x）＜0，f（x）遞減；
，f'（x）＞0，f（x）遞增，
又，f（x）＜0，而g（x）＞0，
故f（x）＜g（x）成立 …（8分）
2°時，令F（x）=f（x）-g（x），則
若a≥2，則F'（x）＞0，而，
∴f（x）＜0＜g（x），此時成立 …（10分）
若，設sinx=t，t∈（-1，1），令，則，
由知，即，
∴，
又，
∴，G（t）＞0，，G（t）＜0
∴F（x）先增后減，而，必存在x₀使F（x₀）＞0，不成立
綜上，a∈（-∞，-1]∪[2，+∞） …（12分）
分析：（Ⅰ）當a=2時，求導函數，令其大于0，即可得到函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）先確定a≤-1或，再分類討論，確定函數的單調性，確定函數值的正負，即可得到結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查恒成立問題，正確分類是關鍵．