Question

已知關于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三個實根分別為一個橢圓，一個拋物線，一個雙曲線的離心率，則的取值范圍    ．

Answer 1

【答案】分析：令f（x）=x³+ax²+bx+c，把x=1，y=0代入函數解析式求得a+b+c的值，進而可得f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍確定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用線性規劃求得的取值范圍．
解答：解：令f（x）=x³+ax²+bx+c
∵拋物線的離心率為1，∴1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一個實根
∴a+b+c=-1
∴c=-1-a-b代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
可得f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]
設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，則g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1，x₂＞1
∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0
作出可行域，如圖所示
的幾何意義是區域內的點與原點連線的斜率，
∴
故答案為：
點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，簡單線性規劃，考查計算能力．