Question

已知函數.
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，不等式恒成立，求實數的取值范圍．   

Answer 1

（1）單調遞增區間為；遞減區間為；（2）

試題分析：（1）先求，解不等式，并和定義域求交集，得單調遞增區間；解不等式，并和定義域求交集，得單調遞減區間；（2）構造函數
，由題意得，，求，并解的根，討論根與定義域的位置關系，若根在定義域外，則函數單調，利用單調性求函數的最大值；若根是內點，則將定義域分段，分別考慮導函數符號，判斷函數的大致圖象，并求最大值．
（1）當時，，
，由，得；由，得，故函數的單調遞增區間為；遞減區間為．
（2）因為函數圖像上的點都在所表示的平面區域內，則當時，不等式恒成立，即恒成立，設，只需即可.由
，
（ⅰ）當時，，故，則函數在上單調遞減，故成立，（ⅱ）當時，令，得，①若，即，函數在區間單調遞增，時，，此時不滿足條件，②若，即時，則函數在上單調遞減，在區間單調遞增，故當時，，此時不滿足條件，
當是，由，因為，所以，所以，故函數在上單調遞減，故成立.
綜上所述，實數a的取值范圍是.