Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，當x＞0時，f（x）+xf'（x）＞0，且f（1）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（　　）

A、（-1，0）∪（1，+∞）

B、（-1，0）∪（0，1）

C、（-∞，-1）∪（1，+∞）

D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：由題意構造函數g（x）=xf （x），再由導函數的符號判斷出函數g（x）的單調性，由函數f（x）的奇偶性得到函數g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、還有g（-1）=0，再通過奇偶性進行轉化，利用單調性求出不等式得解集．

解答：解：設g（x）=xf（x），則g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函數g（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函數，
∴函數g（x）在區間（-∞，0）上是增函數，
∵f（1）=0，
∴f（-1）=0；
即g（-1）=0，g（1）=0
∴xf（x）＞0化為g（x）＞0，
設x＞0，故不等式為g（x）＞g（1），即1＜x；
設x＜0，故不等式為g（x）＞g（-1），即-1＜x＜0．
故所求的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故選A．

點評：本題考查了由條件構造函數和用導函數的符號判斷函數的單調性，利用函數的單調性和奇偶性的關系對不等式進行轉化，注意函數值為零的自變量的取值．