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已知函數，其中是自然對數的底數，.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，求函數的最小值.

（Ⅰ）的單調減區間為；單調增區間為；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）先求導函數，得，令，得遞增區間為；令，得遞減區間為；（Ⅱ）令，得，討論與區間的位置關系，當，或時，函數單調，利用單調性求最值；當，將定義域分段，分別判斷導函數符號，得單調區間，判斷函數的值圖像，從而求得最值.
試題解析：（Ⅰ）解：因為，，所以．
令，得．當變化時，和的變化情況如下：










↘
 
↗
故的單調減區間為；單調增區間為．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的單調減區間為；單調增區間為．
所以當，即時，在上單調遞增，
故在上的最小值為；
當，即時，
在上單調遞減，在上

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數的圖像在點處的切線斜率為10.
(1)求實數的值;
(2)判斷方程根的個數,并證明你的結論;
(21)探究: 是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側? 若存在,求出點A的坐標;若不存在,說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，其中.
（Ⅰ）若，求函數的極值點；
（Ⅱ）若在區間內單調遞增，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，現要在邊長為的正方形內建一個交通“環島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為（不小于）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于，繞島行駛的路寬均不小于.

（1）求的取值范圍；（運算中取）
（2）若中間草地的造價為元，四個花壇的造價為元，其余區域的造價為元，當取何值時，可使“環島”的整體造價最低？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知a，b為常數，a¹0，函數．
（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）內的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區間[1，2]上是增函數；
②若，，且在區間[1，2]上是增函數，求由所有點形成的平面區域的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，（其中為常數）；
（Ⅰ）如果函數和有相同的極值點，求的值；
（Ⅱ）設，問是否存在，使得，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）記函數，若函數有5個不同的零點，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數（為常數），其圖象是曲線．
（1）當時，求函數的單調減區間；
（2）設函數的導函數為，若存在唯一的實數，使得與同時成立，求實數的取值范圍；
（3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設切線的斜率分別為．問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，其中為常數.
（Ⅰ）若函數是區間上的增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）若在時恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線垂直，求的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求證：．

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