Question

已知．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線垂直，求的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求證：．

Answer 1

（1）；（2）當，即時，，當，即時，，當，即時，；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、切線方程以及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想，綜合分析和解決問題的能力.第一問，對求導(dǎo)，將代入得到切線的斜率，由已知切線與直線垂直得出方程，解出的值；第二問，先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再討論已知和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系來決定最值的位置；第三問，利用第二問的結(jié)論，得出，因為，所以數(shù)形結(jié)合，得，解得，數(shù)形結(jié)合得出兩組點的橫坐標的關(guān)系，又利用，得出，，進行轉(zhuǎn)換得到所求證的不等式.
試題解析：（1）由，
得：，則，
所以，得.
（2）令，得，即.
由，得，由，得，
∴在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).
∴當，即時，.
當，即時，.
當，即時，.
（3）由（2）知，，
∵，∴，
∴，得，∴，且.
得，又，，
∴.
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率；2.兩條直線垂直的充要條件；3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；4.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.