已知
．
（1）當
時，求
上的值域；
（2）求函數
在
上的最小值；
（3）證明: 對一切
，都有
成立
(1) 
值域為
；（2）
；（3）證明如下.
解析試題分析：（1）
對稱軸為
，開口向上，
.
（2）
，可知
在
單調遞減，在
單調遞增.因為
，故要分三種情況討論，即①
，t無解； ②
，即
時，
； ③
，即
時，在
上單調遞增，
；
所以
.
(3) 設
，要使
在
恒成立，即
.由（2）可求
，再利用導數求
.
試題解析：
（1）∵
=
, x∈[0,3]
當
時，
；當
時，
，故值域為
（2）
，當
，
，單調遞減，
當
，
，單調遞增．
①，t無解；
②，即時，；
③，即時，在上單調遞增，；
所以．
（3） 
，所以問題等價于證明
，由（2）可知
的最小值是
，當且僅當
時取到；
設
，則
，易得
，當且僅當時取到，從而對一切，都有
成立.
考點：1、二次函數求最值；2、利用導數判斷單調性，求最值；3、參數討論思想；4、恒成立問題的轉化思想.
口算能手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，現要在邊長為
的正方形
內建一個交通“環島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為
（
不小于
）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為
的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于
，繞島行駛的路寬均不小于
.
（1）求的取值范圍；（運算中
取
）
（2）若中間草地的造價為
元
，四個花壇的造價為
元，其余區域的造價為
元，當取何值時，可使“環島”的整體造價最低？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，設
（Ⅰ）求函數
的單調區間
（Ⅱ）若以函數
圖象上任意一點
為切點的切線的斜率
恒成立，求實數
的最小值
（Ⅲ）是否存在實數
，使得函數
的圖象與函數
的圖象恰有四個不同交點？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
=
。
（1）當
時，求函數的單調增區間；
（2）求函數在區間
上的最小值；
（3）在（1）的條件下，設
=+
，
求證：
（
），參考數據：
。（13分）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
：
.
（Ⅰ）當
時，求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）設斜率為
的兩條直線與曲線相切于
兩點，求證：
中點
在曲線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，又已知直線的方程為：
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線
垂直，求
的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求證：
．
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，其中
為常數. 
是區間
上的增函數，求實數
在
時恒成立，求實數
.
在區間
單調遞增，求
的最小值；
，對
，使
成立，求
的范圍.
（其中
是實數）.
的單調區間；
，且
，求
的取值范圍．
是自然對數的底數）