Question

設函數f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若函數f(x)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數a的值；

(3)若方程f(x)＝c有兩個不相等的實數根x1、x2，求證：f′>0.

 

Answer 1

（1）單調增區間為，單調減區間為（2）3（3）見解析

【解析】(1)【解析】
f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．

當a≤0時，f′(x)>0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

所以函數f(x)的單調增區間為(0，＋∞)．

當a>0時，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .

所以函數f(x)的單調增區間為，單調減區間為.

(2)【解析】
由(1)得，若函數f(x)有兩個零點，則a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a2＋4a－4aln <0.因為a>0，所以a＋4ln－4>0.

令h(a)＝a＋4ln－4，顯然h(a)在(0，＋∞)上為增函數，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.

當a>a0時，h(a)>0；當0<a<a0時，h(a)<0.所以滿足條件的最小正整數a＝3.

又當a＝3時，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a＝3時，f(x)有兩個零點．

綜上所述，滿足條件的最小正整數a的值為3.

(3)證明：因為x1、x2是方程f(x)＝c的兩個不等實根，由(1)知a>0.

不妨設0<x1<x2，則－(a－2)x1－alnx1＝c，－(a－2)x2－alnx2＝c.

兩式相減得－(a－2)x1－alnx1－＋(a－2)·x2＋alnx2＝0，

即＋2x1－－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．

所以a＝.

因為f′＝0，當x∈時，f′(x)<0，當x∈時，f′(x)>0，

故只要證> 即可，即證明x1＋x2> ，

即證明－＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)< ＋2x1－－2x2，

即證明ln <.設t＝ (0<t<1)．

令g(t)＝lnt－，則g′(t)＝.

因為t>0，所以g′(t)≥0，當且僅當t＝1時，g′(t)＝0，

所以g(t)在(0，＋∞)上是增函數．

又g(1)＝0，所以當t∈(0，1)，g(t)<0總成立．所以原題得證．