Question

已知拋物線P：x²=2py (p>0)．

（Ⅰ）若拋物線上點到焦點F的距離為．

（ⅰ）求拋物線的方程；

（ⅱ）設拋物線的準線與y軸的交點為E，過E作拋物線的切線，求此切線方程；

（Ⅱ）設過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，連接，并延長分別交拋物線的準線于C，D兩點，求證：以CD為直徑的圓過焦點F．

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由拋物線定義可知，拋物線上點到焦點F的距離與到準線距離相等，

         即到的距離為3；

         ∴ ，解得．

∴ 拋物線的方程為．                    ………………4分

（ⅱ）拋物線焦點，拋物線準線與y軸交點為，

顯然過點的拋物線的切線斜率存在，設為，切線方程為．

由，  消y得，              ………………6分

，解得．                       ………………7分

∴切線方程為．                          ………………8分

（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，設：，

設，，

由    消y得 ．   且．

∴ ，；

∵ ， ∴ 直線：，                               

與聯立可得， 同理得．……………10分

∵ 焦點，

∴ ，，             ………………12分

∴

∴  以為直徑的圓過焦點．                 ………………14分