Question

已知拋物線P：x²=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若拋物線上點M（m，2）到焦點F的距離為3．
（ⅰ）求拋物線P的方程；
（ⅱ）設拋物線P的準線與y軸的交點為E，過E作拋物線P的切線，求此切線方程；
（Ⅱ）設過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，連接AO，BO并延長分別交拋物線的準線于C，D兩點，求證：以CD為直徑的圓過焦點F．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ⅰ）欲求拋物線方程，需求出p值，根據拋物線上點到焦點F的距離與到準線距離相等，以及拋物線上點M（m，2）到焦點F的距離為3，可解得 p，問題得解．
（ⅱ）求出E點坐標，設出過E的拋物線P的切線方程，再根據直線方程與拋物線方程聯立，△=0，即可求出k值，進而求出切線方程．
（Ⅱ）設出A，B兩點坐標，以及過焦點F的動直線l方程，代入拋物線方程，求x₁x₂，x₁+x₂，再求C，D點坐標，用含x₁，x₂的式子表示

FC

，

FD

坐標，在證

FC

，

FD

共線即可．

解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由拋物線定義可知，拋物線上點M（m，2）到焦點F的距離與到準線距離相等，
即M（m，2）到y=-

p

2

的距離為3；
∴-

p

2

+2=3，解得p=2．
∴拋物線P的方程為x²=4y．                                       
（ⅱ）拋物線焦點F（0，1），拋物線準線與y軸交點為E（0，-1），
顯然過點E的拋物線的切線斜率存在，設為k，切線方程為y=kx-1．
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，
△=16k²-16=0，解得k=±1．                                    
∴切線方程為y=±x-1．                                          
（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在，設l：y=kx+

p

2

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=2py y=kx+ p 2

消y得 x²-2pkx-p²=0．   且△＞0．
∴x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²；
∵A（x₁，y₁），∴直線OA：y=

y1

x1

x，
與y=-

p

2

聯立可得C(-

px1

2y1

，-

p

2

)，同理得D(-

px2

2y2

，-

p

2

)．          
∵焦點F(0，

p

2

)，
∴

FC

=(-

px1

2y1

，-p)，

FD

=(-

px2

2y2

，-p)，
∴

FC

•

FD

=(-

px1

2y1

，-p)•(-

px2

2y2

，-p)=

px1

2y1

px2

2y2

+p2=

p2x1x2

4y1y2

+p2=

p2x1x2

4 x12 2p x22 2p

+p2=

p4

x1x2

+p2=

p4

-p2

+p2=0
∴以CD為直徑的圓過焦點F．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，以及直線與拋物線的位置關系判斷，做題時要認真分析，避免不必要的錯誤．