Question

設二次函數，對任意實數，恒成立；正數數列滿足.
（1）求函數的解析式和值域；
（2）試寫出一個區間，使得當時，數列在這個區間上是遞增數列，并說明理由；
（3）若已知，求證：數列是等比數列

Answer 1

解：（1）其值域為.…………4分
（2）解：當時，數列在這個區間上是遞增數列，證明如下：
設，則，所以對一切，均有；………6分

，
從而得，即，所以數列在區間上是遞增數列.………8分
注：本題的區間也可以是、、等無窮多個.
另解：若數列在某個區間上是遞增數列，則
即……6分
又當時，，所以對一切，均有且，所以數列在區間上是遞增數列.
（3）證明略

本試題主要是考查了函數的解析式和值域以及函數單調性的運用，以及等比數列的定義的綜合問題。
（1）由恒成立等價于恒成立轉化為判別式的不等式得到參數k的值，進而求解。
（2）利用數列的單調性的定義，若數列在某個區間上是遞增數列，則
即
（3）由（2）知，從而，即得到數列的遞推關系，進而求解得到。