Question

已知α為第三象限角，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得sinα、cosα是關(guān)于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的兩個(gè)根，若存在，求出實(shí)數(shù)m，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：α為第三象限角，sinα、cosα的值都是負(fù)值，由于sinα、cosα是關(guān)于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的兩個(gè)根，由上知函數(shù)f（x）在（-1，0）上有兩個(gè)負(fù)根，此條件可等價(jià)轉(zhuǎn)化為

f(0)＞0 f(-1)＞0 f(- 3 8 )≤0

，解此不等式，若有解說(shuō)明存在，否則不存在

解答：解：由題意α為第三象限角，sinα、cosα的值都是負(fù)值，
由于sinα、cosα是關(guān)于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的兩個(gè)根，
令函數(shù)f（x）=8x²+6mx+2m+1，其對(duì)稱(chēng)軸是x=-

3

8

由上知函數(shù)f（x）在（-1，0）上有兩個(gè)負(fù)根
∴

f(0)＞0 f(-1)＞0 f(- 3 8 )≤0

整理得

2m+1＞0 9-4m＞1 9 8 - 9 4 m+2m+1≤0

即

m＞- 1 2 m＜2 m≥ 17 2

，無(wú)解

綜上知，不存在m∈R滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，以及三角函數(shù)的有界性，求解的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性得到參數(shù)所滿足的不等式，從中解出參數(shù)的取值范圍來(lái)，本題是一個(gè)存在性問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題解題思想一般是假設(shè)存在，由此得到方程或不等式，對(duì)其求解，若能解出參數(shù)的范圍，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在．本題在轉(zhuǎn)化時(shí)易忘記用三角函數(shù)的有界性，致使求出的參數(shù)范圍擴(kuò)大，轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意等價(jià)．