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已知a＞2，求證：log（a-1）a＞loga（a+1）
分析：（法一）利用作差法：只要證明log(a-1)a-loga(a+1)=
1
loga(a-1)
-loga(a+1)=
1-(loga(a-1))•(loga(a+1))
loga(a-1)
＞0即可
（法二）作商法：只要證明
log(a-1)a
loga(a+1)
=
1
loga(a-1)
loga(a-1)
=
1
(loga(a-1))•(loga(a+1))
＞1即可
解答：證明（法一）：∵log(a-1)a-loga(a+1)=
1
loga(a-1)
-loga(a+1)
=
1-(loga(a-1))•(loga(a+1))
loga(a-1)
．
因為a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，loga（a-1）•loga（a+1）≤[
loga(a-1)+loga(a+1)
2
]2
=
[loga(a2-1)]2
4
＜
[logaa2]2
4
=1
所以，log（a-1）a-loga（a+1）＞0，命題得證．
證明2：因為a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，
log(a-1)a
loga(a+1)
=
1
loga(a-1)
loga(a-1)
=
1
(loga(a-1))•(loga(a+1))

由法1可知：loga（a-1）•loga（a+1）≤[
loga(a-1)+loga(a+1)
2
]2
=
[loga(a2-1)]2
4
＜
[logaa2]2
4
=1
∴
1
loga(a-1)•loga(a+1)
＞1．
故命題得證
點評：本題主要考查了不等式的證明方法的常用方法：作差證明差大于0，作商證明商大于1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C方程為
x2
a2
+y2=1，過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為
2
2
．
（1）求橢圓方程．
（2）已知A、B方程為橢圓的左右兩個頂點，T為橢圓在第一象限內的一點，l為點B且垂直x軸的直線，點S為直線AT與直線l的交點，點M為以SB為直徑的圓與直線TB的另一個交點，求證：
TB
-
SM
=
TB
-
SO
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知E（2，2）是拋物線C：y2=2px上一點，經過點（2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線EA，EB分別交直線x=-2于點M，N．
（Ⅰ）求拋物線方程及其焦點坐標；
（Ⅱ）已知O為原點，求證：∠MON為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB的中點．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為
1
-4
，點P（2，-1）在矩陣A對應的變換下得到點P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρcos(θ-
π
4
)=
2
，曲線C的參數方程為
x=2cosα
y=sinα
（α為參數），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數，且abc=8，求證：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圓O：x2+y2=1上的兩個動點，且M、N關于x軸對稱，直線AM與BN交于P點．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設動直線l：y=k（x+
3
2
）與曲線C交于S、T兩點．求證：無論k為何值時，以動弦ST為直徑的圓總與定直線x=-
1
2
相切．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的三點，且
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
0
(O∉l且a＞0)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，+∞）單調遞增，求實數a的范圍；
（3）當a=1時，求證：lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
．(n≥2且n∈N*)．

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