Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的標準方程為
（Ⅱ）直線l過定點，定點坐標為

解析試題分析：（Ⅰ）因為橢圓C上的點到焦點距離的最大值為，最小值為.在橢圓中，可求，再根據橢圓的標準方程為求得.
（Ⅱ）聯立直線l與橢圓方程得的一元二次方程，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），所以,故,可得的關系式，再由點斜式的直線方程寫出直線l過定點，注意檢驗.
試題解析：（Ⅰ）由題意設橢圓的標準方程為
由已知得：

（Ⅱ）設，聯立
得，則

又，
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），

當，直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當
所以，直線l過定點，定點坐標為
考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與橢圓的位置關系；3、韋達定理；4、直線的點斜式方程；5、點與圓的位置關系.