Question

（2013•浙江）設F為拋物線C：y²=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于兩點A，B，點Q為線段AB的中點，若|FQ|=2，則直線l的斜率等于

不存在

．

Answer 1

分析：由題意設直線l的方程為my=x+1，聯立

my=x+1 y2=4x

得到y²-4my+4=0，△=16m²-16=16（m²-1）＞0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．利用根與系數的關系可得y₁+y₂=4m，利用中點坐標公式可得y0=

y1+y2

2

=2m，x₀=my₀-1=2m²-1．Q（2m²-1，2m），由拋物線C：y²=4x得焦點F（1，0）．再利用兩點間的距離公式即可得出m及k，再代入△判斷是否成立即可．

解答：解：由題意設直線l的方程為my=x+1，聯立

my=x+1 y2=4x

得到y²-4my+4=0，△=16m²-16=16（m²-1）＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．
∴y₁+y₂=4m，∴y0=

y1+y2

2

=2m，∴x₀=my₀-1=2m²-1．
∴Q（2m²-1，2m），
由拋物線C：y²=4x得焦點F（1，0）．
∵|QF|=2，∴

(2m2-2)2+(2m)2

=2，化為m²=1，解得m=±1，不滿足△＞0．
故滿足條件的直線l不存在．
故答案為不存在．

點評：本題綜合考查了直線與拋物線的位置關系與△的關系、根與系數的關系、中點坐標關系、兩點間的距離公式等基礎知識，考查了推理能力和計算能力．