Question

設函數
(Ⅰ)若，是否存在k和m，使得 ，，若存在，求出k和m的值，若不存在，說明理由
(Ⅱ)設 有兩個零點 ，且 成等差數列， 是 G (x)的導函數，求證：

Answer 1

(Ⅰ) 存在k=2，m=-1；(Ⅱ)見解析

解析試題分析：(Ⅰ)先求，然后根據條件很容易求出a，b，此時會發現和圖象有一個公共點（1，1），根據問題：是否存在k和m，使得，，也就是找到一條直線要同時滿足這兩個不等式．根據存在的公共點可以想到是否是過這一點的直線，故先求出還在（1，1）的切線，然后去驗證它是否同時滿足，即可．(Ⅱ)先求出，根據條件x₁，x₂是它的兩個零點，所以x₁²?alnx₁?bx₁+2＝0且x₂²?alnx₂?bx₂+2＝0．根據所要證的結論：，所以需要求，利用x₁+x₂=2x₀，將用x₁，x₂表示出來，然后判斷它是否大于0即可．
試題解析：(Ⅰ)=，=，由得：a+b＝2， b＝1，解得，解得a=b=1．∴=．
因與有一個公共點（1，1），易求得函數=在點（1，1）的切線方程為．
下面驗證，都成立即可．
設h（x）=lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1，所以=＝．
x∈（0，1）時，＞0；x∈（1，+∞）時，＜0，∴x=1時，取最大值=0；
∴lnx+x≤2x-1恒成立，即≤2．
由于，得，∴≥恒成立．
故存在這樣的k，m，且k=2，m=-1．                             6分
(Ⅱ)因為==，有兩個零點x₁，x₂，
則x₁²?alnx₁?bx₁+2＝0且x₂²?alnx₂?bx₂+2＝0，
兩式相減得，x₁²? x₂²-a(lnx₁? lnx₂)-b(x₁?x₂)＝0，
所以=，又因為x₁+x₂=2x₀，
因為=，所以=