Question

設(shè)△ABC三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量

p

=（a，2b），

q

=（sinA，1），且

p

∥

q

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，

m

=（cosA，cosB），

n

=（1，sinA-cosAtanB），求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)

p

∥

q

．得到a-2bsinA=0，由正弦定理求出sinB的值，然后求角B的大小；
（Ⅱ）先求

m

•

n

的表達(dá)式sin（A+

π

6

），利用三角形的內(nèi)角和是180°，B的值，推出A的范圍，A+

π

6

的范圍，然后確定

m

•

n

取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

p

=（a，2b），

q

=（sinA，1），且

p

∥

q

，
∴a-2bsinA=0，由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0．（3分）
∵0＜A，B，C＜π，∴sinB=

1

2

，得B=

π

6

或B=

5π

6

．（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是銳角三角形，
∴B=

π

6

，

m

=（cosA，

3

2

），

n

=（1，sinA-

3

3

cosA），
于是

m

•

n

=cosA+

3

2

（sinA-

3

3

cosA）=

1

2

cosA+

3

2

sinA=sin（A+

π

6

）．（9分）
由A+C=π-B=

5π

6

及0＜C＜

π

2

，得A=

5π

6

-C∈（

π

3

，

5π

6

）．
結(jié)合0＜A＜

π

2

，∴

π

3

＜A＜

π

2

，得

π

2

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）＜1，即

3

2

＜

m

•

n

＜1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積，正弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是知識(shí)交匯題目，有難度但是不大，注意角的范圍的確定．