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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若1+
tanB
tanA
=
2c
3
a
．
（1）求角B的大小；
（2）若
m
=(cosA，cosB)，
n
=（1，sinA-cosAtanB），求
m
•
n
的取值范圍．
分析：（1）利用正弦定理，結合三角形的內角和定理，即可求得角B的大小；
（2）利用向量的數量積公式，結合輔助角公式化簡函數，即可求得
m
•
n
的取值范圍．
解答：解：（1）由1+
tanB
tanA
=
2c
3
a
得1+
sinB
cosB
cosA
sinA
=
2sinC
3
sinA
，即
sinC
cosBsinA
=
2sinC
3
sinA

∵A，C∈（0，π），∴sinC≠0，sinA≠0，∴cosB=
3
2

∵B∈（0，π），∴B=
π
6
．                                  （5分）
（2）由（1）知B=
π
6
，∴
m
=(cosA，
3
2
)，
n
=（1，sinA-
3
3
cosA），（6分）
于是
m
•
n
=cosA+
3
2
（sinA-
3
3
cosA）=sin（A+
π
6
）． （10分）
∵0＜A＜
5π
6
，∴
π
6
＜A+
π
6
＜π
∴
1
2
＜sin(A+
π
6
)≤1，即
1
2
＜
m
•
n
≤1．      （12分）
點評：本題考查正弦定理，考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查學生計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量
p
=（a，2b），
q
=（sinA，1），且
p
∥
q
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，
m
=（cosA，cosB），
n
=（1，sinA-cosAtanB），求
m
•
n
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）已知函數f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1，x∈R，將函數f（x）向左平移
π
6
個單位后得函數g（x），設△ABC三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（Ⅰ）若c=
7
，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且
m
=(cosA，cosB)，
n
=(1，sinA-cosAtanB)，求
m
•
n
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東省高三第二次（3月）周測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

設△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，，求的取值范圍．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三第七次階段復習達標檢測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

設△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且．

　（Ⅰ）求角B的大小；

　（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，，求的取值范圍．

 

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