Question

已知數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p為常數)，a1，a2＋6，a3成等差數列．

(1)求p的值及數列{an}的通項公式；

(2)設數列{bn}滿足bn＝，證明：bn≤.

 

Answer 1

（1）an＝3n（2）

【解析】由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.

∵a1，a2＋6，a3成等差數列，∴a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2.

依題意知，an＋1＝an＋2×3n，

當n≥2時，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1.

等號兩邊分別相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)＝2×＝3n－3，

∴an－a1＝3n－3，∴an＝3n(n≥2)．

又a1＝3適合上式，故an＝3n.

(2)證明:∵an＝3n，∴bn＝.

∵bn＋1－bn＝－＝ (n∈N*)．

若－2n2＋2n＋1<0，則n>，

即當n≥2時，有bn＋1<bn.

又因為b1＝，b2<.故bn≤