Question

已知函數f(x)=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（mn＞0），給出下列三個命題：
①函數f（x）的圖象關于x軸上某點成中心對稱；
②存在實數p和q，使得p≤f（x）≤q對于任意的實數x恒成立；
③關于x的方程g（x）=0的解集可能為{-4，-2，0，3}．
則是真命題的有

①②

．（不選、漏選、選錯均不給分）

Answer 1

分析：①由f（x+b）+f（b-x）=0即可判斷①的正誤；
②將f(x)=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），轉化為y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有實數解，由△≥0即可判斷②的正誤；
③由f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n=0（mn＞0），可判斷③的正誤．

解答：解：對于①，∵f（x+b）+f（b-x）=

a(x+b-b)

(x+b-b)2+c

+

a(b-x-b)

(b-x-b)2+c

=0，
∴函數f（x）的圖象關于x軸上的點（b，0）成中心對稱；故①正確；
對于②，∵f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），
∴y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有實數解，
∴△=a²-4cy²≥0，又a≠0，c＞0
∴y²≤

a2

4c

，
∴-

|a|

2 c

≤y≤

|a|

2 c

．即存在實數p和q，使得p≤f（x）≤q對于任意的實數x恒成立；
∴②正確；
③∵f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n=0（mn＞0），
∴

a2(x-b)2

[(x-b)2+c]2

=

n

m

（mn＞0），假設g（x）=0有四個根，令t=（x-b）²（t≥0），則x=b±

t

，
∴x₁+x₂=2b，同理x₃+x₄=2b，
∴其解集{-4，-2，0，3}中-4+3≠-2+0，即x₁+x₂≠x₃+x₄=2b，
∴③錯誤．
故正確答案為：①②．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數的中心對稱問題及二次函數的性質，方程的解等問題，綜合性強，難度大，屬于難題．