Question

（本小題滿分12分）
已知函數
（1）若函數在上為增函數，求正實數的取值范圍；
（2）當時，求在上的最大值和最小值；
（3） 當時，求證：對大于1的任意正整數，都有。

Answer 1

（1）（2）最大值為，最小值為（3），
函數在上為增函數，當時，令
即 所以

試題分析：（1），
函數在上為增函數，對任意的恒成立，
對任意的恒成立，即任意的恒成立，…………2分
而當時，，                      ……………………4分
（2）當時，
當變化時，，的變化情況如下表

			1		2
			0
			0

因為
所以在區間上的最大值為，最小值為 …………8分
（3）當時，，，
所以函數在上為增函數
當時，令
即                  ……………………10分
所以
所以
即對大于1的任意正整數，都有。…………12分
點評：導數主要用于判定函數單調性，求最值，證明不等式恒成立，其中證明不等式或已知不等式恒成立求參數問題常轉化為求函數最值問題