Question

已知在同一平面內

OA

、

OB

、

OC

滿足條件：

OA

+

OB

+

OC

=

0

，|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|≠0．
（I）求證：△ABC為正三角形；
（II）類比于（I），在同一平面內，若向量

OA

，

OB

，

OC

，

OD

滿足條件：

OA

+

OB

+

OC

=

0

，|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|≠0，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明．

Answer 1

分析：（I）利用向量的運算法則將等式中的向量

OA

，

OB

，

OC

用三角形的各邊對應的向量表示，得到邊的關系，得出三角形的形狀．
（II）先設|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=r，根據向量的運算得出：∠AOB=∠COD；∠AOD=∠BOC從而∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點共線及、O、D三點共線，又|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|得出四邊形ABCD為矩形．

解答：解：（I）證明：設|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=r
則

OA

+

OB

+

OC

=

0

?

OA

+

OB

=-

OC

?(

OA

+

OB

)2=

OC

2?(

OA

+

OB

)2=

OC

2?cos∠AOB=-

1

2

?∠AOB=

2π

3

（3分）

AB

=

OB

-

OA

?

AB

2=

OB

2+

OA

2-2

OB

•

OA

=3r2?|

AB

|=

3

r同理|

AB

|=|

BC

|=

3

r=|

AC

|
∴△ABC為正三角形（6分）
（II）四邊形ABCD為矩形（8分）設|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=r，則

OA

+

OB

=-

OC

-

OD

?(

OA

+

OB

)2=(-

OC

-

OD

) 2?2r²+2r²cos∠AOB=2r²+2r²cos∠COD?∠AOB=∠COD
同理∠AOD=∠BOC（10分）
又∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°
∴∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三點共線
同理B、O、D三點共線又|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|
∴四邊形ABCD為矩形．（12分）

點評：本題考查向量的運算法則及利用向量判斷出三角形的形狀．解答的基礎是對向量運算和變形的熟悉掌握．